RLM: Supuestos
Multicolinealidad
El problema:
\[ \hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'Y \] - Se tiene un problema en cuanto a la transpuesta de la matriz \((X'X)\)
- Perfecta: Si se tiene este tipo, el modelo simplemente no toma en cuenta esta variable
- Imperfecta: El cáclulo de la inversa es computacionalmente exigente
Posibles causas
- El método de recolección de información
- Restricciones en el modelo o en la población objeto de muestreo
- Especificación del modelo
- Un modelo sobredetermindado
- Series de tiempo
¿Cuál es la naturaleza de la multicolinealidad?
Causas - ¿Cuáles son sus consecuencias prácticas?
Incidencia en los errores estándar y sensibilidad
- ¿Cómo se detecta?
Pruebas
¿Qué medidas pueden tomarse para aliviar el problema de multicolinealidad?\
- No hacer nada
- Eliminar variables
- Transformación de variables
- Añadir datos a la muestra
- Componentes principales, factores, entre otros
¿Cómo se detecta?
- Un \(R^{2}\) elevado pero con pocas razones \(t\) significativas
- Regresiones auxiliares (Pruebas de Klein)
- Factor de inflación de la varianza \[ VIF = \frac{1}{(1-R^2)} \]
Ejemplo 1
- Haremos uso del paquete AER
- Abrir la tabla 10.8
- Ajusta el modelo
donde
- \(X_1\) índice implícito de deflación de precios para el PIB,
- \(X_2\) es el PIB (en millones de dólares),
- \(X_3\) número de desempleados (en miles),
- \(X_4\) número de personas enlistadas en las fuerzas armadas,
- \(X_5\) población no institucionalizada mayor de 14 años de edad
- \(X_6\) año (igual a 1 para 1947, 2 para 1948 y 16 para 1962).
\[ Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\beta_{3}X_{3} + \beta_{4}X_{4}+\beta_{5}X_{5}+u_{i}\nonumber \]
- Analice los resultados
Agreguemos el tiempo: - Las correlaciones muy altas también suelen ser síntoma de multicolinealidad
ajuste.2 <- lm(Y~X1+X2+X3+X4+X5+TIME)
summary(ajuste.2)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + TIME)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -381.7 -167.6 13.7 105.5 488.9
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.727e+04 2.324e+04 2.895 0.02005 *
## X1 -2.051e+00 8.710e+00 -0.235 0.81974
## X2 -2.733e-02 3.317e-02 -0.824 0.43385
## X3 -1.952e+00 4.767e-01 -4.095 0.00346 **
## X4 -9.582e-01 2.162e-01 -4.432 0.00219 **
## X5 5.134e-02 2.340e-01 0.219 0.83181
## TIME 1.585e+03 4.827e+02 3.284 0.01112 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 295.6 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9955, Adjusted R-squared: 0.9921
## F-statistic: 295.8 on 6 and 8 DF, p-value: 6.041e-09cor(cbind(X1,X2,X3,X4,X5,TIME))## X1 X2 X3 X4 X5 TIME
## X1 1.0000000 0.9936689 0.5917342 0.4689737 0.9833160 0.9908435
## X2 0.9936689 1.0000000 0.5752804 0.4587780 0.9896976 0.9947890
## X3 0.5917342 0.5752804 1.0000000 -0.2032852 0.6747642 0.6465669
## X4 0.4689737 0.4587780 -0.2032852 1.0000000 0.3712428 0.4222098
## X5 0.9833160 0.9896976 0.6747642 0.3712428 1.0000000 0.9957420
## TIME 0.9908435 0.9947890 0.6465669 0.4222098 0.9957420 1.0000000- Prueba de Klein: Se basa en realizar regresiones auxiliares de todas contra todas las variables regresoras.
- Si el \(R^{2}\) de la regresión aux es mayor que la global, esa variable regresora podría ser la que genera multicolinealidad
- ¿Cuántas regresiones auxiliares se tiene en un modelo en general?
Regresemos una de las variables
ajuste.3<- lm(X1~X2+X3+X4+X5+TIME)
summary(ajuste.3)##
## Call:
## lm(formula = X1 ~ X2 + X3 + X4 + X5 + TIME)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -18.8602 -4.3277 -0.3175 4.3726 14.8438
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.529e+03 7.288e+02 2.098 0.0653 .
## X2 2.543e-03 9.453e-04 2.690 0.0248 *
## X3 3.056e-02 1.514e-02 2.019 0.0742 .
## X4 1.011e-02 7.559e-03 1.337 0.2140
## X5 -1.263e-02 7.903e-03 -1.598 0.1445
## TIME -1.621e+01 1.766e+01 -0.918 0.3826
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 11.31 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9923, Adjusted R-squared: 0.9881
## F-statistic: 232.5 on 5 and 9 DF, p-value: 3.127e-09tolerancia<-1-0.9923Factor de inflación de la varianza
Si este valor es mucho mayor que 10 y se podría concluir que si hay multicolinealidad
vif <- 1/tolerancia
vif## [1] 129.8701Ahora vamos a usar el paquete AER:
library(AER)vif1 <- vif(ajuste.2)
Raux <- (vif1-1)/vif1
Rglobal <- 0.9955
Rglobal-Raux## X1 X2 X3 X4 X5
## 0.003181137 -0.003829181 0.026533869 0.254649059 -0.001623122
## TIME
## -0.003160352Se podría no hacer nada ante este problema. O se puede tratar con transformaciones. Deflactamos el PIB: PIB_REAL <- X2/X1
# La variable X5 (población)
# esta correlacionada con el tiempo
PIB_REAL <- X2/X1
ajuste.4<-lm(Y~PIB_REAL+X3+X4)
summary(ajuste.4)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ PIB_REAL + X3 + X4)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -760.29 -197.71 -53.69 234.77 603.15
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 42716.5646 710.1206 60.154 3.31e-15 ***
## PIB_REAL 72.0074 3.3286 21.633 2.30e-10 ***
## X3 -0.6810 0.1693 -4.023 0.00201 **
## X4 -0.8392 0.2206 -3.805 0.00292 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 389 on 11 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9893, Adjusted R-squared: 0.9864
## F-statistic: 339.5 on 3 and 11 DF, p-value: 4.045e-11vif(ajuste.4)## PIB_REAL X3 X4
## 3.054580 2.346489 2.318500ajuste.5<-lm(Y~PIB_REAL+X3+X4)
summary(ajuste.5)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ PIB_REAL + X3 + X4)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -760.29 -197.71 -53.69 234.77 603.15
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 42716.5646 710.1206 60.154 3.31e-15 ***
## PIB_REAL 72.0074 3.3286 21.633 2.30e-10 ***
## X3 -0.6810 0.1693 -4.023 0.00201 **
## X4 -0.8392 0.2206 -3.805 0.00292 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 389 on 11 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9893, Adjusted R-squared: 0.9864
## F-statistic: 339.5 on 3 and 11 DF, p-value: 4.045e-11vif(ajuste.5)## PIB_REAL X3 X4
## 3.054580 2.346489 2.318500Heterocedasticidad
Ocurre cuando la varianza no es constante.
¿Cuál es la naturaleza de la heterocedasticidad?
- Modelos de aprendizaje de los errores: con el paso del tiempo, las personas cometen menos errores de comportamiento. Es decir que la varianza disminuye.
- Ingreso direccional: Es probable que la varianza aumente con el ingreso dado que el aumento del ingreso se tiene más opciones del cómo disponer de él.
- Técnicas de recolección de datos: si la técnica mejora, es probable que la varianza se reduzca.
- Datos atípicos o aberrantes: Sensibilidad en las estimaciones
- Especificaciones del modelo: Omisión de variables importantes en el modelo.
- Asimentría: Surge a partir de la distribución de una o más regresoras en el modelo. Ejemplo: Distribución del ingreso generalmente inequitativo
¿Cómo detectarla?
Método gráfico
Veamos las pruebas de detección en un ejemplo
Abrir la base de datos wage1 de Wooldrigde
- Correr el modelo \[ lwage = \beta_{0}+\beta_{1}casados+\beta_{2}casadas+\beta_{3}solteras +\beta_{4}educ+\beta_{5}exper+\beta_{6}expersq +\beta_{7}tenure+\beta_{8}tenuresq+u_{i} \]
Hacer un gráfico de los valores estimados y los residuos al cuadrado
Prueba de Breusch Pagan
- Correr un modelo de los residuos al cuadrado regresado en las variables explicativas del modelo global. \[ sqresid = \beta_{0}+\beta_{1}casados+\beta_{2}casadas+\beta_{3}solteras +\beta_{4}educ+\beta_{5}exper+\beta_{6}expersq +\beta_{7}tenure+\beta_{8}tenuresq+u_{i} \]
bptest(objeto): si el pvalor es inferior a \(0.05\),Ho: Homocedasticidad
El códgio en R sería:
ajuste1 <- lm(lwage~casados+casadas+solteras+educ+exper+
expersq+tenure+tenursq)
summary(ajuste1)##
## Call:
## lm(formula = lwage ~ casados + casadas + solteras + educ + exper +
## expersq + tenure + tenursq)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.89697 -0.24060 -0.02689 0.23144 1.09197
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.3213780 0.1000090 3.213 0.001393 **
## casados 0.2126756 0.0553572 3.842 0.000137 ***
## casadas -0.1982677 0.0578355 -3.428 0.000656 ***
## solteras -0.1103502 0.0557421 -1.980 0.048272 *
## educ 0.0789103 0.0066945 11.787 < 2e-16 ***
## exper 0.0268006 0.0052428 5.112 4.50e-07 ***
## expersq -0.0005352 0.0001104 -4.847 1.66e-06 ***
## tenure 0.0290875 0.0067620 4.302 2.03e-05 ***
## tenursq -0.0005331 0.0002312 -2.306 0.021531 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.3933 on 517 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4609, Adjusted R-squared: 0.4525
## F-statistic: 55.25 on 8 and 517 DF, p-value: < 2.2e-16residuos <- resid(ajuste1)
sqresid <- residuos^2
y_techo <- fitted(ajuste1)
plot(y_techo,sqresid) 
plot(fitted(ajuste1),resid(ajuste1))
# Usando el "default" de R:
par(mfrow=c(2,2))
plot(ajuste1)
par(mfrow=c(1,1))
library(sandwich)
library(lmtest)
#install.packages("lmSupport")
library(lmSupport)
# Test para ver si hay heterocedasticidad
residuos <- resid(ajuste1)
sqresid <- (residuos)^2
ajuste2 <- lm(sqresid~casados+casadas+solteras+educ+exper+expersq+tenure+tenursq)
summary(ajuste2)##
## Call:
## lm(formula = sqresid ~ casados + casadas + solteras + educ +
## exper + expersq + tenure + tenursq)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.2346 -0.1237 -0.0887 0.0202 3.4689
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.029e-02 6.893e-02 0.729 0.46603
## casados -4.870e-02 3.816e-02 -1.276 0.20241
## casadas -5.147e-02 3.986e-02 -1.291 0.19727
## solteras 4.162e-03 3.842e-02 0.108 0.91379
## educ 3.849e-03 4.614e-03 0.834 0.40462
## exper 1.008e-02 3.614e-03 2.790 0.00546 **
## expersq -2.071e-04 7.611e-05 -2.720 0.00674 **
## tenure 4.763e-04 4.661e-03 0.102 0.91864
## tenursq 8.670e-05 1.594e-04 0.544 0.58672
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2711 on 517 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.02507, Adjusted R-squared: 0.009989
## F-statistic: 1.662 on 8 and 517 DF, p-value: 0.105# F =1.662 y pvalue=0.105 NO EXISTE HETEROCEDASTICIDAD
#Breusch-Pagan test
'bptest es igual a hettest en STATA'## [1] "bptest es igual a hettest en STATA"bptest(ajuste1)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: ajuste1
## BP = 13.189, df = 8, p-value = 0.1055Autocorrelación
- ¿Cuál es la naturaleza de la autocorrelación?
- ¿Cuáles son las consecuencias teóricas y prácticas de la autocorrelación?
- ¿Cómo remediar el problema de la autocorrelación?
Autocorrelación: correlación entre miembros de series de observaciones ordenadas en el tiempo [como en datos de series de tiempo] o en el espacio [como en datos de corte transversal]:
\[ E(u_i,u_j) \neq 0 \\ i \neq j \] El supuesto es: \[ cov(u_i,u_j|x_i,x_j) = E(u_i,u_j) = 0 \\ i \neq j \]
- Datos atípicos o aberrantes: Sensibilidad en las estimaciones
- Especificaciones del modelo: Omisión de variables importantes en el modelo.
- Asimentría: Surge a partir de la distribución de una o más regresoras en el modelo. Ejemplo: Distribución del ingreso generalmente inequitativo
Cómo detectarla sesgos de especificación
Método gráfico
Veamos las pruebas de detección en un ejemplo
Ejemplo
Abrir la tabla 12.4. Veamos los datos en forma gráfica, y corramos el modelo:
- Y, índices de remuneración real por hora
- X, producción por hora X
#Indice de compensacion real (salario real)
plot(X,Y)
ajuste.indice<-lm(Y~X)
summary(ajuste.indice)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.138 -2.130 0.364 2.201 3.632
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 29.5192 1.9424 15.20 <2e-16 ***
## X 0.7137 0.0241 29.61 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.676 on 38 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9584, Adjusted R-squared: 0.9574
## F-statistic: 876.5 on 1 and 38 DF, p-value: < 2.2e-16Revisemos si hay autocorelación:
residuos<- resid(ajuste.indice)
plot(residuos,t="l",xlab="Tiempo")
par(mfrow = c(2,2))
plot(ajuste.indice)
par(mfrow = c(1,1))- Los datos NO DEBEN TENER UN PATRON (si tienen patron, algo anda mal)
- En este caso se tiene un curva cuadrática, el modelo podría estar mal especificado
- Podría ser que el modelo no se lineal o estar correlacionado
Veamos si se trata de una función cuadrática y cúbica
ajuste2 <- lm(Y~X+I(X^2))
summary(ajuste2)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X + I(X^2))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.58580 -0.76248 0.09209 0.68442 2.63570
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.622e+01 2.955e+00 -5.489 3.09e-06 ***
## X 1.949e+00 7.799e-02 24.987 < 2e-16 ***
## I(X^2) -7.917e-03 4.968e-04 -15.936 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.9669 on 37 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9947, Adjusted R-squared: 0.9944
## F-statistic: 3483 on 2 and 37 DF, p-value: < 2.2e-16ajuste3 <- lm(Y~X+I(X^2)+I(X^3))
summary(ajuste3)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X + I(X^2) + I(X^3))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.63265 -0.79419 0.06568 0.66627 2.43810
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -2.222e+01 1.344e+01 -1.653 0.107060
## X 2.196e+00 5.466e-01 4.018 0.000286 ***
## I(X^2) -1.119e-02 7.178e-03 -1.559 0.127658
## I(X^3) 1.398e-05 3.054e-05 0.458 0.649958
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.9774 on 36 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9947, Adjusted R-squared: 0.9943
## F-statistic: 2272 on 3 and 36 DF, p-value: < 2.2e-16Nos quedamos con el ajuste 2
El gráfico de los val ajustados, muestra que se ha eliminado el patron inicial
par(mfrow = c(2,2))
plot(ajuste2) 
par(mfrow = c(1,1))
residuos2 <- resid(ajuste2)
plot(residuos2,t="l",xlab="Tiempo")
points(residuos2)
abline(h=0,col="blue")
Cómo debe ser el gráfico
aleatorios=rnorm(40,0,1)
plot(aleatorios,t="l",xlab="Tiempo")
points(aleatorios)
abline(h=0,col="blue")
¿Se parece?
Ejemplo: Pruebas
Ho: No hay autocorrelación
dwtest(ajuste2)##
## Durbin-Watson test
##
## data: ajuste2
## DW = 1.03, p-value = 0.0001178
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0¿Cuál es la conclusión?
Otra prueba:
# Ajuste Breuch Godfrey (Ho: No hay autocorrelación)
bgtest(ajuste2,order=4)##
## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 4
##
## data: ajuste2
## LM test = 14.945, df = 4, p-value = 0.004817